Matematika: Agustus 2017

Archive for Agustus 2017

Pembuktian Teorema Ptolemy Lengkap Jelas

Agustus 08, 2017 Add Comment

Pembuktian Teorema Ptolemy Lengkap Jelas - Hi sobat math, matematika mungkin tak akan lepas dari kehidupan entah itu saat berinteraksi, tanpa di sadari pasti akan ada hubungan dengan matematika, oke langsung saja sesuia judul kali ini akan membahasa pembuktian teorema ptolemy, berikut penjelasannya.
Post ini membahas lagi mengenai bangun lingkaran, salah satu topik dalam geometri elementer, namun bukan lagi membahas segitiga. Teorema Ptolemy ini sangat umum, digunakan untuk mencari panjang segiempat tali busur atupun diagonal dari segiempat tali busur. Pasti dikenal di salah satu buku textbook matematika smp (namun jarang disebutkan kalau namanya Ptolemy). Dan, di textbook sangat jarang disertakan pembuktiannya. Di post ini, aku akan memberikan:
1. Bukti Teorema Ptolemy
2. Kesalahan dalam menafsirkan teorema Ptolemy (hampir 90% guru SMP salah menafsirkan teorema ini sehingga soal yang dibuat menjadi salah.)..
3. Bukti-bukti lain untuk mencari teorema ini, dan teorema yang lebih primer dari Ptolemy (dengan mencari panjang diagonal)

Beginilah bunyi teorema Ptolemy:
Diberikan sebuah segiempat tali busur (atau disebut quadrilateral) ABCD yang berurutan.

Teorema Ptolemy menyatakan bahwa jumlah dari hasil kali sisi-sisi yang berseberangan sama dengan hasil kali diagonalnya, atau dapat ditulis sbb:

AB x CD + AD x BC = AC x BD

atau dapat ditulis begini:

ac+bd = mn

Simple sekali. Rumus ini mudah diingat. Namun, ada beberapa hal yang sebaiknya perlu kalian perhatikan. Teorema Ptolemy bisa menyesatkan jika penggunanya tidak tahu cara menggunakannya... Lihat lanjutan post di bawah.
=========================================================================

BAGIAN I
BUKTI TEOREMA PTOLEMY I

Bagaimana membuktikan teorema Ptolemy?? Dari hasil pengamatanku di internet, bukti yang paling mudah dipahami adalah bukti mengenai kesebangunan.

Dari qudrilateral (gambar di atas), buatlah titik K yang terletak di diagonal DB sedemikian sehingga sudut yang dibentuk DAC sama dengan sudut BAK. Lebih jelasnya, lihat gambar di bawah.

Perhatikan bahwa

(alasannya:

dan

). Dengan demikian, kita dapatkan persamaan

. Jika kali silang, persamaan tersebut menjadi: AC x BK = AB x CD... (i)

Lalu, perhatikan bahwa

(alasannya:

dan

).
Dengan demikian kita dapatkan persamaan

. Jika dikali silang, persamaan tersebut menjadi: AC x DK = AD x BC...(ii)

Selanjutnya, tinggal menambahkan kedua persamaan di atas:

AC x BK +AC x DK = AB x CD + AD x BC
AC x (BK +DK) = AB x CD + AD x BC
AC x BD = AB x CD + AD x BC

Teorema Ptolemy pun TERBUKTI.
=========================================================================

BAGIAN II
KESALAHAN-KESALAHAN DALAM QUADRILATERAL

Berikut akan diberikan beberapa contoh soal yang salah:

CONTOH SOAL SALAH I:
Diketahui segiempat talibusur ABCD dengan panjang AB = 1 cm, BC = 2 cm, CD = 3 cm, dan DA = 6 cm. Tentukan hasil kali diagonal-diagonalnya!

PENJELASAN:
Banyak orang matematika menjawab kalau hasil kali diagonalnya dapat dicari dengan teorema Ptolemy: AC x BD = AB x CD + AD x BC = 1 x 3 + 6 x 2 = 15 cm. Padahal soalnya salah.
Sampai kepala botak pun, kita tidak dapat membentuk segiempat dengan sisi masing-masing 1, 2, 3, dan 6 cm. Dengan demikian, teorema Ptolemy tidak berlaku.

CONTOH SOAL SALAH II:
Diketahui quadrilateral ABCD dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, CD = 4 cm, DA = 5 cm. Panjang diagonal AC = 5 cm. Tentukan panjang diagonal BD!

PENJELASAN:
Banyak orang menjawab soal itu dengan langsung memasukkannya ke teorema Ptolemy, tanpa mengecek terlebih dahulu kebenarannya. Mereka menjawabnya sbb:
BD = (AB x CD + AD + BC) / AC = (2x4+5x3)/ 5 = 4,6 cm.

Padahal, BELUM TENTU panjang diagonal AC = 5 cm. Kenyataannya panjang AC dapat dicari dengan mengetahui keempat sisinya. Begitu pula dengan panjang BD. Dengan demikian, soal tersebut salah karena yang diketahui BERLEBIH. Seharusnya, panjang diagonal AC tidak perlu diberitahukan, kecuali jika si pembuat soal benar-benar yakin jika panjang diagonal AC tersebut adalah 5 cm, dan hal ini dapat dilihat melalui perhitungan yang lain (lihat lanjutan post ini, untuk membahas hal ini)..

=========================================================================

BAGIAN III
BUKTI PRIMER TEOREMA PTOLEMY

Kita akan kembali membuktikan teorema Ptolemy, tapi dengan terlebih dahulu mencari panjang diagonal AC dan BD, kemudian keduanya dikalikan.

Perhatikan kembali gambar quadrilateral berikut:

Dengan melihat

dan menerapkan dalil Cosinus (seperti yang sudah dibahas di SINI), maka kita dapatkan persamaan:

... (i)

Kemudian, dengan melihat

dan menerapkan dalil cosinus lagi, maka kita dapatkan persamaan:

. Namun, kita tahu kalau

(sifat quadrilateral), maka persamaan tersebut dapat ditulis ulang sbb:

... (ii)

Nah, kita ingin mengeliminasikan bagian sudut. Dengan demikian:
Kalikan pers (i) dengan

, sehingga menjadi:

... (ib)

Kalikan pers (ii) dengan

sehingga menjadi:

... (iib)

Jumlahkan kedua persamaan di atas, maka kita dapatkan:

Nah, salah satu panjang diagonal m dapat diperoleh dari keempat sisi quadrilateral.

Dengan cara yang sama, kita dapatkan formula untuk menentukan panjang diagonal n.

Kemudian, dengan mengalikan keduanya, kita akan mendapatkan teorema ptolemy:

TERBUKTI

Note: Akan lebih mudah menurunkan m dan n ketimbang menghapal rumusnya... Jadi, rumus di atas disarankan tidak dihapal demi kenyamanan otak... ^^
=========================================================================
Berikut diberikan contoh soal yang sederhana...

CONTOH SOAL:
Diketahui quadrilateral ABCD dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, CD = 4 cm, DA = 5 cm. Tentukan panjang diagonal AC dan BD!
JAWAB:
a = AB = 2cm.
b = BC = 3cm.
c = CD = 4cm.
d = DA = 5cm.

AC =

________________________=

________________________=4,411523372cm.
Panjang BD dapat ditentukan dengan 2 cara: Ptolemy atau langsung.
Cara Ptolemy:
BD =

= 5,213618531cm.

Cara langsung:
BD =

= 5,213618531cm.
=========================================================================

Demikian Pembuktian Teorema Ptolemy Lengkap Jelas post singkat ini dibuat.. Bukan dimaksudkan untuk membuat pusink pembaca lowh..

Masih ada lagi pembahasan mengenai quadrilateral, yaitu mencari area dan mencari jari-jari lingkarannya. Dengan itu tunggu postingan selanjutnya. Semangat para Math.

Sumber:http://en.wikipedia.org/wiki/Ptolemy%27s_theorem, http://www.cut-the-knot.org/proofs/ptolemy.shtml, http://www.vias.org/comp_geometry/geom_quad_cyclic.html, http://www.cut-the-knot.org/proofs/ptolemy.shtml#Mahavira

Pembuktian Teorema Euler Lengkap

Agustus 08, 2017 Add Comment

Pembuktian Teorema Euler Lengkap - hi kali ini kami akan membagikan sebuah artikel, ya sesuai dengan judul oke langsung saja ke pembahasannya.

(Pelajari dahulu Fermat's Little Theorem dan Euler Phi Function.)

Fermat's Little Theorem (FLT) bekerja dengan baik jika bilangannya adalah prima. Namun, hal ini kurang memuaskan para matematikawan karena kurang praktis. Bagaimana dengan bilangan komposit?

Tahun 1736, Leonhard Euler berhasil membuktikan FLT. Kemudian, 24 tahun kemudian, FLT digeneralisasi oleh Euler. Selanjutnya generalisasi ini disebut dengan teorema Euler.

Teorema Euler

Untuk

positif integer dan

adalah integer dimana

, maka:

Perhatikan bahwa apabila

adalah bilangan prima (

), maka FLT berlaku:

Di post ini, kita akan mempelajari bukti teorema ini, sekaligus mengenal kegunaan dari teorema Euler ini terutama dalam menyelesaikan soal kongruensi modulo dengan cepat. :)

=======================================================================

Konsep yang melandasi bukti teorema euler adalah sistem residu yang tereduksi. Perhatikan penjelasan pada kotak di bawah.

Sistem Residu yang tereduksi (reduced residue system) modulo

adalah kumpulan

bilangan integer yang totatif (koprima) dengan

dan tidak ada 2 integer yang mempunyai kelas sisa yang sama.

Contoh 1:
1, 2, 4, 5, 7, 8 adalah sistem residu tereduksi modulo 9.
Perhatikan bahwa

. Jadi, jumlah bilangannya harus 6.

.
Perhatikan juga bahwa bilangan-bilangan itu harus koprima dengan 9, dan mempunyai kelas sisa yang berbeda satu sama lain.

Contoh 2:
-5, 7, 14, 19, 29, 35 adalah sistem residu tereduksi modulo 9.
Perhatikan bahwa semua bilangannya koprima dengan 9.
Tiap bilangan juga memiliki kelas sisa yang berbeda:
-5

4 (mod 9)____7

7 (mod 9)_____14

5 (mod 9)
19

1 (mod 9)____29

2 (mod 9)____35

8 (mod 9)

Contoh 3:
1, 5, 7, 11, 13 BUKAN sistem residu tereduksi modulo 12, karena jumlah bilangannya ada 5, padahal

Contoh 4:
-7, 11, 13, 17 BUKAN sistem residu tereduksi modulo 12, karena
-7 dan 17 memiliki kelas sisa yang sama.
-7

5 (mod 12). ____17

5 (mod 12)_

Contoh 5:
-7, 11, 13, 51 BUKAN sistem residu tereduksi modulo 12, karena 51 dan 12 bukan koprima.

Teorema

Jika

adalah sistem residu yang tereduksi modulo

,
dan

adalah integer positif dimana

, maka:

juga merupakan sistem residu yang tereduksi modulo

BUKTI:
(i) Bukti bahwa tiap elemen

koprima dengan

.
__Karena

dan

, maka

.
(ii) Bukti bahwa tiap dua elemen memiliki kelas sisa yang berbeda.
__Asumsikan bahwa ada dua elemen, misalkan

dan

yang kongruen modulo

__Karena

, maka:

__Namun, kita tahu bahwa

dan

inkongruen (karena keduanya berasal dari sistem
__residu tereduksi). Oleh karenanya, kontradiksi dengan asumsi awal.
__Jadi,

dan

yang inkongruen modulo

.

Dari poin (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa

juga merupakan sistem residu yang tereduksi modulo

. ■

Contoh 6:
1, 3, 5, 7 merupakan sistem residu tereduksi modulo 8.
Karena gcd( 3, 8 ) = 1, maka:
3, 9, 15, 21 juga merupakan sistem residu tereduksi modulo 8.

BUKTI TEOREMA EULER:
Didasarkan pada teorema sebelumnya pada kotak di atas.

Karena

juga merupakan sistem residu tereduksi modulo

, maka tentunya sisa residu positif dari

adalah

dalam urutan tertentu (acak).
Dengan mengalikan elemen-elemen tersebut, kita dapatkan:

Karena

, maka

TERBUKTI. ■

ILUSTRASI BUKTI:
Dari contoh 6, kita tahu bahwa
1, 3, 5, 7 merupakan sistem residu tereduksi modulo 8.
3.1, 3.3 , 3.5 , 3.7 juga merupakan sistem residu tereduksi modulo 8.
Dengan demikian:

(3.1) (3.3) (3.5) (3.7)

3. 1. 7. 5 (mod 8)

(3.1) (3.3) (3.5) (3.7)

1 . 3 . 5 . 7 (mod 8)
3⁴ (1. 3. 5. 7)

1 . 3 . 5 . 7 (mod 8)

=======================================================================

Contoh 1:
Tentukan digit terakhir dari

.

Jawab:
Mencari digit terakhir sama seperti mencari sisanya juga dibagi 10.
Sesuai dengan teorema euler, maka:

Jadi, kita kelompokkan berdasarkan 4.

Digit terakhirnya adalah 1.

Contoh 2:
Berapakah sisa pembagian jika

dibagi

.

Jawab:
Sesuai teorema Euler,

Maka, kita kelompokkan berdasarkan 24.

Selanjutnya, gunakan cara biasa:

___________

Jadi, sisanya adalah 11.

Contoh 3:
Tentukan solusi kongruensi dari

.

Jawab:

Teorema euler berguna untuk mencari invers modulo:

Berarti,

adalah invers dari

modulo

Dengan demikian,

Contoh 4:
Jika

koprima dengan 32760, buktikan bahwa:

Jawab:
Perhatikan bahwa

Teorema Euler menyatakan bahwa:

__, maka

Karena 8, 9, 5, 7, dan 13 semuanya koprima, maka

Terbukti. ■

Contoh 5:
Jika

dan

koprima, buktikan bahwa:

Jawab:
Menurut teorema Euler:
(i)

, maka

(ii)

, maka

Sesuai dengan sifat keterbagian,

Terbukti. ■

=======================================================================

Di post ini, hanya diberikan perhitungan-perhitungan dasar yang melibatkan teorema euler. Dalam prakteknya pun, perhitungan yang melibatkan teorema euler juga merupakan perhitungan dasar seperti di atas. Teorema Euler berguna dalam banyak hal. Salah satunya untuk mempercepat proses enkripsi dan dekripsi dalam kriptografi, sehingga lebih efektif dan efisien . (belum dibahas sekarang).

Dengan teorema Euler, kita juga dapat membuktikan formula eksplisit dari Chinese Remainder Theorem, yang memungkinkan CRT diselesaikan dengan program komputer. Namun, hal itu masih belum dibahas sekarang.

Tunggu kelanjutan post-post berikutnya ya :)
Terimakasih telah berkunjung
By : Dede Taufiq

Sumber:
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_theorem
http://www.cut-the-knot.org/blue/Euler.shtml
Buku Elementary Number Theory oleh Kenneth H Rosen.